让我们首先引入这个故事的主角——欧拉公式：
这个结构看似简单的公式，实质上高度浓缩了三维实体（即多面体，Polyhedra）的核心几何几何属性。这类空间结构在过去 4000 多年里始终吸引着数学家的目光。事实上更深层次地讲，欧拉公式揭示了关于形状与空间本质的深刻规律。该公式以瑞士著名数学家莱昂纳德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）的名字命名。
什么是多面体？
在探讨欧拉公式的本质之前，我们需要明确多面体的数学定义。多面体是一种三维实体，其表面由有限个平坦的面（Face）围成，而这些面的边界必须是平直的线段。这里的每一个面实际上都是一个多边形（Polygon）——即在二维平面上由若干条直线段首尾相连构成的封闭图形。
多边形的定义有着严格的限制——其内部不允许存在任何孔洞，正如下图中所示：左侧的图形是一个多边形，但右边的并不是。
若一个多边形的所有边长均相等，且所有内角也均相等，则称之为正多边形（Regular Polygon）。例如图 1 中的三角形、正方形，以及图 2 中的五边形都是正多边形。
当我们将维度向上拓展一级，便得到了多面体。它是一个封闭的三维实体，表面由若干多边形面构成。我们将这些面的边界称为边（Edge）——每两条边恰好由两个面共用；位于每个面角落的部分被称为顶点（Vertex）——在标准多面体中，每个顶点至少连接着三个不同的面。为了说明这一点，以下是两个著名多面体的例子。
此外，一个真正的多面体必须是一个骨肉相连的连续整体。它不能由诸如两个或者多个独立的几何体仅通过一条边或一个顶点强行连接而成。因此，以下两种情形均不属于真正意义上的多面体：
欧拉公式揭示了什么？
现在，我们已经准备好来看看欧拉公式究竟解释什么有关多面体的秘密了。观察一个多面体（例如上述的正方体或正二十面体），统计其顶点数量，并将该数值记为 V。以正方体为例，它拥有 8 个顶点，即 V=8。其次，统计其边的数量，并将该数值记为 E。正方体拥有 12 条边，即 E=12。最后，统计其面的数量，并将该数值记为 F。在正方体的例子中 F=6。现在，欧拉公式告诉我们：
用文字表述也就是：多面体的顶点数，减去边数，再加上面数，其结果恒等于 2。对于正方体，我们已经知道 V=8、E=12 且 F=6。因此：
这与公式的预言完全吻合。我们再来看看正二十面体，可以发现它拥有 12 个顶点（V=12）、30 条边（E=30）和 20 个面（F=20）。代入公式可得：
同样和我们先前所预料的完全一致。
欧拉公式对于正方体和正二十面体成立。事实上，美妙得令人惊叹的是，欧拉公式对几乎所有多面体都普遍适用。唯一使该规律失效的特例，是那些内部包含贯穿孔洞的几何体（如下图所示）。
在几何学中，此类带有孔洞的多面体被称为非简单多面体（non-simple）；与之相对，没有孔洞的则称为简单多面体。虽然非简单多面体并不符合常规直觉，但它们在现实中大量存在，我们也不能回避欧拉公式对它们均失效的事实。然而，即使是这一尴尬的反常现象，如今已演变为一门关于空间与拓扑结构的全新理论。
欧拉公式的理论威力
一旦数学家发现某个“不变量”（即对某一类对象普遍成立的恒等属性），他们就知道自己找到宝了。学者们可以借此推断单个或者一整类几何体可能具备的性质。例如，欧拉公式可以告诉我们：世界上根本不存在恰好拥有 7 条边的简单多面体。 你不必找来硬纸板、剪刀和胶水亲手操作才能弄懂这件事，欧拉公式就是你所需要的一切。有关“不存在7条边多面体”的论证过程其实非常简单，感兴趣的读者可以自己尝试一下。（译者注：可以试着找一些简单多面体顶点、边和面之间的数学关系，然后和欧拉公式结合导出矛盾）
同理，我们也可以证明：绝对不存在一个刚好拥有 10 个面和 17 个顶点的简单多面体。 下图所示的八边柱底面为八边形，它确实有 10 个面，但是顶点的数量只有 16 个。底面为九边形的边锥同样有 10 个面，但其顶点仅有 10 个。欧拉公式从代数层面上锁死了创造“10 面 17 顶”多面体的可能性。
正是基于上面这种推导思考，我们得以一瞥或许是数学中最美的发现。这一发现和正多面体有关，这是一类以古希腊哲学家柏拉图命名的知名多面体（译者注：柏拉图立体），它们最早出现在柏拉图的著作中。
尽管只需看上面的实例，就能立刻感受到它们匀称优美的特质，但想用文字精准定义却并不简单。事实上，柏拉图立体由两大核心特征界定。
第一，柏拉图立体不存在凸起尖角或凹陷，整体形态规整饱满。换句话说：在柏拉图立体内部任取两点并相连，两点间的整条线段都完全包含在立体内部 —— 这类立体就是我们所说的凸多面体（convex）。
第二个特征称为正规性（regularity）：立体所有面都是边数完全相同的正多边形，且立体每一个顶点处交汇的边数量都相等。
正方体是一种正多面体，因为其所有面均为正方形，且每个顶点均连接 3 条边。读者可以自行验证，正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体同样完全满足这两个特征。
此刻你或许会好奇，一共存在多少种不同的柏拉图立体。自立方体与正四面体被发现以来，数学家们便深深着迷于柏拉图立体匀称对称的美感，不断寻找新的种类，并试图完整列举出所有类型。这时欧拉公式就能派上用场。我们可以借助它，推算正多面体的面、边、顶点数量所有可能的组合。最终你会发现，实际上仅有五种不同的正凸多面体！这一点十分出人意料：毕竟正多边形的边数可以无限多，为何正多面体的种类却存在上限？五种柏拉图立体：正四面体、立方体、正八面体、正十二面体与正二十面体分别如上图所示。
严格的逻辑证明
对各种不同的简单多面体进行尝试，会让你确信欧拉公式总是成立的。但对于数学家来说，这远远不够。你需要的是“证明”——一种基于无懈可击的逻辑推理，证明该公式对所有已知和未知的多面体均绝对成立。
尽管该公式以欧拉命名，但首个完整证明实际上并非由欧拉得出。它的发展历程错综复杂，跨越两百年时光，多位数学巨匠都参与其中，包括勒内·笛卡尔（René Descartes，1596–1650）、欧拉本人、阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752–1833）以及奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789–1857）。
值得一提的是，这些数学家证明该公式采用的思路截然不同，每一种证法都极具巧思与独到见解。不过，这里我想为大家简单介绍柯西的证明思路。他的证明分为好几个阶段与步骤，第一步是构造一种叫做网络图的图形结构。
阶段一：多面体的平面网络化
想象你手中拿着一个多面体，让其中一个面朝上。接下来设想只“去掉”这个朝上的面，保留它周边所有的边和顶点，这样就得到一个敞口的 “盒状结构”。然后想象抓住这个结构，把缺失那个面的四条边向四周拉开。只要拉得足够开，这个立体结构就能摊平，变成平面上由点和线段组成的网络图。下方一系列图示以立方体为例，演示了这一过程。
从上图可以看到，原多面体的每一个面，都会转化为网络图中被边包围的一块区域，我们将其称作网络图的面，也就是网络图的内部面。除此之外还有一个外部面，即网络图外围的整片区域，它正好对应我们从多面体上移除的那个面。因此，该网络图包含顶点、直线边以及多边形面。
在构造网络图的过程中，顶点既没有新增也没有减少，因此网络图的顶点数量和原多面体相等，记作 V；网络图的边的数量也和多面体一致，记作 E。再看面：多面体除了被去掉的那个面之外，其余所有面都变成了网络图内部的区域；而那个被“去掉”的面，则对应环绕网络图四周、向外无限延伸的外部面。因此若把外部面算在内，网络图一共有 F 个面。这就意味着，我们完全可以借助网络图（而非原多面体）来计算 V-E+F 的值。接下来我们将对网络图做变形处理，简化该式的计算。
阶段二：网络的拓扑变换
我们可以对网络图执行三类操作，下面将分三步介绍这些操作。
步骤 1：我们先观察网络图里的多边形面，并提出一个问题：是否存在边数大于三的面？如果有，就像下图那样画出一条对角线，把这个面分割成两个更小的面。
我们对选定的面重复上面的操作，直到它完全被分割成若干个三角形。
倘若还有其他边数大于三的面，我们就对该面重复第一步操作，直至它也被拆分为多个三角形面。按照这种方法，我们能把所有面全都分割成三角形，最终得到一张全新网络图，它所有的面均为三角形。下文将以立方体展开得到的网络图为例，演示这一变换过程。
我们回到第一步，观察仅执行一次第一步操作后得到的网络图。绘制一条对角线会新增一条边；原来的一个面被拆成两个面，因此面的数量增加 1，而顶点总数保持不变。
变换后的网络图顶点数仍为 V，边数变为 E+1，面数变为 F+1。那么执行一次第一步操作后，V-E+F 的值会发生怎样的变化？结合 V,E,F 各自的增减情况可以得到，变换后的表达式为 V-(E+1)+(F+1)。接下来我们对该式化简：
由此可知，完成第一步操作后，V-E+F 的数值保持不变！由于每执行一次第一步操作，V-E+F 的值都不会发生改变，因此当我们得到一张全部由三角形构成的新网络图时，该式的值依旧不变。下方表格展示了对立方体展开所得网络图做变换时，V-E+F 的变化规律。
接下来介绍第二步与第三步操作。这两步会从网络图的外围逐层去掉面，使面的数量逐步减少。一旦开始该操作，这张网络图大概率不再对应某个多面体，但网络图最重要的性质依然保持不变。
步骤二：我们先检查网络图是否存在这样一个面：它与外部面仅共用一条边。如果存在，就删掉这条公共边，从而移除该面。原本被这个面覆盖的区域会并入外部面，网络图也随之形成新的外边界。下方示意图以立方体转化得到的网络图为例演示该操作。
设执行第二步之前，这张全由三角形构成的网络图的顶点、边、面数量分别为 V,E,F。我们来分析单次第二步操作后，V-E+F 的数值变化。操作中我们去掉了一条边，新网络图的边数变为 E-1；顶点一点也没变，总数仍为 V；被移除的面和外部面合并，面数变为 F-1。因此变换后的表达式为 V-(E-1)+(F-1)，化简如下：
V-E+F 再一次保持不变。
步骤 3：我们检查网络图中是否存在这样一个面：它与外部面共用两条边。若存在，就移除这两条公共边以及两条边相交的公共顶点，以此消去该面；此时原属于这个面的区域会再次并入外部面。下图以立方体衍生网络图（完成两次第二步操作后的形态）为例演示该操作。
和之前的做法一致，我们仍用 V,E,F 表示操作前网络图的顶点数、边数和面数。现在来看第三步操作会对 V-E+F 的取值产生怎样的影响：我们移除了一个顶点，也就是两条边相交的公共顶点，因此顶点数变为 V-1；我们去掉了两条边，边数变为 E-2；最后，我们选中的这个面与外部面合并，面数变为 F-1。因此变换后的式子应为 (V-1)-(E-2)+(F-1)，化简如下：
V-E+F 的数值再次成功保持了守恒。
该证明的关键在于反复执行第二步与第三步操作，最终得到一个结构极其简单的网络图。回顾前文，我们曾多次使用第一步操作，得到一个所有面均为三角形的网络图。这种网络图中一定存在某个面，它与外部面恰好共用一条边，我们就选取这个面执行第二步操作。我们可以依次对多个面重复第二步，直到出现一个与外部面共用两条边的面，再针对该面执行第三步。持续交替进行第二步和第三步，以这种方式不断消去外围的面。
进行上述操作时必须遵守两条重要规则。第一，只要可以执行第三步，就优先执行第三步；如果同时能选择第二步和第三步，必须选用第三步。若不遵守这条规则，网络图可能会分裂成互不相连的若干部分。第二，每次只能移除一个面。如果一次性移除多个面，就会出现孤立向外延伸到外部面的边，网络图将不再是规范有效的网络图。下面我们以立方体对应的网络图为例，承接上一张示意图的状态连续执行多轮操作，完整演示整个变换流程。
现在我们可以思考两个问题：这种不断移除面的操作是否会终止？如果会终止，最后会剩下什么？稍加思考就能明白，该过程必然会停下 —— 可供移除的面与边的数量都是有限的；当操作停止时，网络图只会剩下一个单独的三角形。文中配有若干示意图，完整演示由正十二面体转化而来的网络图的全部变换流程（前文曾介绍过，正十二面体是五种柏拉图立体之一）。
现在观察最终网络图（仅剩下一个三角形）的顶点、边、面数量：顶点数 V=3，边数 E=3，面数 F=2—— 计算时仍需要把外部面算进去。接下来我们计算：
从完整多面体出发，到最后化简得到单个三角形的全过程里，V-E+F 的数值始终保持不变。既然最终的网络图满足 V-E+F=2，那么原多面体自身也一定满足 V-E+F=2！至此证明完毕！
多面体之外
最后，我将介绍欧拉公式在多面体范畴之外衍生出的若干推论。先从一个十分贴近生活的例子说起：计算机芯片。计算机芯片本质是集成电路，由数百万个微型元器件构成，元器件之间通过数百万条导电线路相连。这种结构和前文讨论的网络图十分相似，但有一点区别：通常无法将这些线路（也就是图中的边）平铺在一个平面上而不出现交叉。线路交叉是电路设计中的缺陷，必须尽可能减少交叉数量，可想要规划出合理布线方案绝非易事。而蕴含网络图相关规律的多面体欧拉公式，是求解这类布线问题不可或缺的理论基础。
接下来我们把视野放大至宏大尺度：我们所处的宇宙。时至今日，宇宙学家仍未就宇宙的确切几何形态达成共识。拓扑学 —— 一门专门研究形体与空间的数学分支，是他们开展相关研究的核心工具。19 世纪数学家发现，三维空间内所有曲面的核心特征都由其上孔洞的数量决定：我们之前讨论的普通多面体不存在孔洞，甜甜圈形状的曲面则带有一个孔洞，以此类推。欧拉原始公式对带孔洞的多面体不再成立，不过数学家推导出了极具价值的推广形式。对任意多面体，V-E+F 的数值恰好等于 2 减去两倍的孔洞数量。这个数值被称作欧拉示性数，它不仅适用于多面体，更是研究所有三维曲面的关键量。可以说，欧拉公式催生了一套全新的、研究形体与空间的思维体系。
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来源丨中科院物理所（id:cas-iop）
作者丨Abigail Kirk
来源：科普中国
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